UniverHelper.RU

Сайт для студентов. Здесь Вы найдёте всё, что нужно для обучения

Показательная и логарифмическая функции и их свойства. Степенная функция, тригонометрические функции и их свойства. Гиперболические функции, обратные тригонометрические и гиперболические функции.

Лекция 3. Основные элементарные функции

Показательная функция

Показательная функция clip_image002 определяется формулой:

clip_image004, clip_image006 (1)

При действительных clip_image008(при clip_image010) получим действительную функцию clip_image012.

Свойства показательной функции

1) clip_image014;

2) clip_image016;

3) clip_image018, т.к. clip_image020;

4) clip_image022; clip_image024;

5) Функция clip_image026 периодическая с периодом clip_image028: clip_image030.

Логарифмическая функция

Определяется как обратная к показательной

Число clip_image032 называется логарифмом числа clip_image034, если clip_image036 и обозначается clip_image038, clip_image040. Найдем выражение для действительной и мнимой частей показательной функции. Из определения следует:

clip_image042

т.е. clip_image044

Итак, clip_image046 (2)

т.е. clip_image048— многозначная (бесконечнозначная) функция.

При k=0 получаем функцию — главное значение логарифма

clip_image050 clip_image052

clip_image054

Свойства логарифмической функции

1) clip_image056;

2) clip_image058;

3) clip_image060;

4) clip_image062.

Докажем первое свойство:

clip_image064

=clip_image066.

Примеры Вычислить: clip_image068.

а) clip_image070; clip_image072, clip_image074; тогда clip_image076;

clip_image078;

б) clip_image080; clip_image072[1], ; clip_image082, clip_image084=clip_image086

clip_image088

в) clip_image090; clip_image092, clip_image094, clip_image096.

Степенная функция

clip_image098

1) Если clip_image100— натуральное число, то функция clip_image102— однозначная:

clip_image104

2) Если clip_image106, clip_image108, то функция clip_image110т — значная:

clip_image112, clip_image114.

3) Если clip_image116 clip_image118, то функция clip_image120q-значная:

clip_image122 clip_image124.

4) Степенная функция clip_image126 с произвольным комплексным clip_image128 определяется равенством clip_image130 clip_image132.

Пример clip_image134.

При clip_image136 имеем clip_image138— действительное число.

Тригонометрические функции

Определяются равенствами:

clip_image140; clip_image142; clip_image144; clip_image146.

При действительных clip_image008[1]получаем тригонометрические функции действительного аргумента clip_image149.

Свойства тригонометрических функций

1) clip_image151;

2) clip_image153;

3) clip_image155;

4) clip_image157;

5) clip_image159;

6) clip_image161;

7) clip_image163;

8) clip_image165;

9) clip_image167;

10) clip_image169;

11) clip_image171 при clip_image173;

12) clip_image175 при clip_image177;

13) clip_image179;

14) clip_image181 и т.д.

Докажем, например, что clip_image183.

clip_image185

Гиперболические функции

Определяются равенствами:

clip_image187; clip_image189; clip_image191; clip_image193;

Связь с тригонометрическими функциями:

clip_image195; clip_image197;

clip_image199; clip_image201;

Свойства гиперболических функций

1) clip_image203; 2) clip_image205; 3) clip_image207;

4) clip_image209; 5) clip_image211;

6) clip_image213; 7) clip_image215.

Дома вывести формулу для clip_image217.

Функции clip_image219 и clip_image221 имеют период clip_image028[1], clip_image224 и clip_image226.

Обратные тригонометрические функции

clip_image228,если clip_image230.

clip_image232

(здесь нет clip_image234, т.е. корень имеет два значения).

clip_image236-бесконечнозначная функция.

clip_image238.

Итак, clip_image240;

clip_image242;

clip_image244 clip_image246;

clip_image248 clip_image246[1].

Обратные гиперболические функции: (apea)

clip_image251; clip_image253;

clip_image255; clip_image257 — бесконечнозначные функции.

Обновлено: 05.02.2019 — 00:19

Добавить комментарий

Образовательный сайт © 2019