UniverHelper.RU

Сайт для студентов. Здесь Вы найдёте всё, что нужно для обучения

Линейные однородные уравнения второго порядка (ЛОДУ-2) с постоянными коэффициентами примеры

ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА

С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Данные уравнения имеют вид:

clip_image002, (1)

где p и q –постоянные числа

Определение

Два решения уравнения (1) clip_image004 и clip_image006 называются линейно независимыми на отрезке clip_image008,если их отношение на данном отрезке не является постоянным, т.е.clip_image010 на clip_image012

Теорема ( Об общем решении ЛОДУ)

Если clip_image014и clip_image016–два линейно независимых решения уравнения (1), то линейная комбинация

clip_image018, (2)

где clip_image020 и clip_image022–произвольные постоянные, является его общим решением.

Характеристическое уравнение

Для нахождения общего решения (2) следует найти два линейно независимых частных решения. Будем искать их виде clip_image024 ( clip_image026); тогда clip_image028, clip_image030, подставим эти выражения в (1), получим clip_image032, откуда следует:

clip_image034 (3)

-характеристическое уравнение, его корни:

clip_image036 ; clip_image038 (4)

Случаи решения характеристического уравнения:

I. корни clip_image040иclip_image042 –действительные и различные (D>0);

II. корни clip_image040[1]=clip_image042[1]–равные действительные (D=0)

III корни clip_image040[2]иclip_image042[2]–комплексные (D<0);

Рассмотрим каждый случай отдельно.

I. Корни характеристического уравнения действительные и различные (clip_image048).

Частными решениями будут функции clip_image050, clip_image052

Они линейно независимы, т.к. clip_image054

Следовательно, общее решение имеет вид: clip_image056

II. Корни характеристического уравнения действительные и равные (clip_image058)

Это будет при D=0 , т.е. clip_image060.

В качестве первого частного решения возьмём clip_image062. Покажем, что в этом случае в качестве второго линейно независимого решения можно взять clip_image064. Подставим его в уравнение (1). Сначала найдём производные:

clip_image066; clip_image068

Подставим в (1):

clip_image070

clip_image072, т.к.

clip_image074 и clip_image076

Итак, в случае clip_image058[1] общее решение уравнения (1) имеет вид

clip_image079 (8)

IІI. Корни характеристического уравнения комплексные

clip_image081; clip_image083, (clip_image085).

Частные решения: clip_image087; clip_image089 , или

clip_image091; clip_image093 (5)

Покажем, что если некоторая комплексная функция clip_image095 является решением уравнения (1), то каждая из действительных функций u(x) и v(x) тоже будет решением уравнения (1). для этого подставим его в уравнение (1):

clip_image097

clip_image099clip_image101.

Значит, в качестве частных решений уравнения (1) можно взять отдельно действительные и мнимые части решений (5):

clip_image103; clip_image105,

В этом случае общее решение уравнения (1) можно представить в виде

clip_image107, (6)

где clip_image020[1]и clip_image022[1] -произвольные постоянные.

Важным частным случаем решения (6) является случай, когда в уравнении (1) p=0 и q>0 , т.е. уравнение (1) имеет вид

clip_image109, (q>0)

При этом характеристическое уравнение clip_image111 (q>0) имеет чисто мнимые корни:clip_image113 clip_image115 и общее решение (6) приобретает вид

clip_image117 (7)

Примеры:

Найти общее решение линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

1)clip_image119

Характеристическое уравнение: clip_image121; clip_image123. Имеем первый случай. Общее решение: clip_image125

2)clip_image127 clip_image129 D<0. Второй случай. clip_image131 clip_image133

Общее решение: clip_image135

3)clip_image137. Случай мнимых корней: clip_image139 clip_image141

Общее решение: clip_image143

4)clip_image145 . D=0, третий случайclip_image147; clip_image149

Общее решение: clip_image151

5)clip_image153 первый случайclip_image155 clip_image157 clip_image159

Общее решение: clip_image161

6)clip_image163 второй случайclip_image165 clip_image167 clip_image169. clip_image171; clip_image173.

Общее решение: clip_image175

7)clip_image177 clip_image179 clip_image181 clip_image183

Общее решение: clip_image185

8)clip_image187 clip_image189 clip_image191 clip_image193

Общее решение: clip_image195

Обновлено: 04.02.2019 — 01:22

Добавить комментарий

Образовательный сайт © 2019