UniverHelper.RU

Сайт для студентов. Здесь Вы найдёте всё, что нужно для обучения

Лекция Скалярное поле. Векторное поле. Векторные линии поля. Поток векторного поля.

Теория поля

Основные понятия

Определение: Полем называется область V пространства, в каждой точке которой задано значение некоторой величины.

Определение: Скалярным полем называется область пространства, в каждой точке М которой определена скалярная функция U(М). Например, температурное поле.

Определение: Векторным полем называется некоторая область пространства, в каждой точке М которой, задан некоторый вектор clip_image002(М). Например, поле силы тяжести.

Если функция U(М) (вектор clip_image002[1](М)) не зависит от времени, то поле называется стационарным.

Например, для трехмерного пространства

U=U(х,у,z), clip_image002[2]={P(x,y,z);Q(x,y,z);R(x,y,z)}.

В дальнейшем будем считать, что указанные функции непрерывно дифференцируемы.

Скалярное поле

Поверхностью уровню скалярного поля называется геометрическое место точек пространства, в которых функция U(М) сохраняет постоянное значение. Например, для поля clip_image004 поверхностями уровня будут концентрические сферы.clip_image006

В случае плоского поля поверхности U(х,у)=С, поверхности уровня будут линиями уровня.

U(М)=С (1)

Определение: Градиентом скалярного поля U(х,у,z) называется вектор

clip_image008 (2)

Скорость изменения функции U(х,у,z) в некотором направлении clip_image010 характеризуется производной функции U(х,у,z) по направлению clip_image012:

clip_image014

Если clip_image016, то функция U в направлении clip_image012[1] убывает.

Если clip_image018, то функция U в направлении clip_image020 возрастает.

Наибольший рост функции происходит в направлении градиента. При этом clip_image022

clip_image024

 

Векторное поле

Векторные линии поля

Рассмотрим векторное поле, задаваемое вектором clip_image002[8]=clip_image002[9](М).

imageВекторной линией поля clip_image002[10]называется линия, касательная к которой в каждой ее точке М, направлена вдоль вектора clip_image002[11](М).

Например, в поле скоростей текущей жидкости векторными линиями будут линии, по которым движутся частицы жидкости.

 

 

Поток векторного поля

Пусть некоторая поверхность S находится поле вектора clip_image002[16](например, в стационарном потоке жидкости). Найдем объем жидкости, протекающей через поверхность S за единицу времени.

image

Выберем определенную сторону поверхности S с нормалью clip_image002[18]. Разобьем S на части clip_image004[4],…,clip_image006[4] и на каждой части выберем точку clip_image008[4] вычисляем clip_image010[4].

За единицу времени через clip_image012[6] протекает объем clip_image014[5],

где clip_image016[4]— высота параллелепипеда: clip_image018[4]

clip_image020[4]

clip_image022[5]

Определение: Потоком вектора clip_image024[6]через поверхность S называется интеграл по поверхности S от проекции вектора clip_image026 на нормаль к поверхности:

clip_image028 (1)

clip_image002[19]; clip_image030

clip_image032 (2)

Используя связь между интегралами I и II рода, получим

clip_image034 (3)

Для замкнутой поверхности S: clip_image036

Обычно выбирают направление clip_image038-внешней нормалью. При этом, если поток больше нуля, то внутри поверхности S есть источник, а если меньше нуля, то есть сток.

Пример: Найти поток вектора clip_image040

Через верхнюю сторону плоскости ΔАВС, полученного пересечением плоскости 3x+6y-2z-6=0 с координатными плоскостями.

Сделаем рисунок.

imageclip_image004[6]

Нам нужно clip_image006[6], значит clip_image008[6], а в нашем случае clip_image010[6], значит берем clip_image012[8]

Найдем поток clip_image014[7]

Обновлено: 04.02.2019 — 00:19

Добавить комментарий

Образовательный сайт © 2019