UniverHelper.RU

Сайт для студентов. Здесь Вы найдёте всё, что нужно для обучения

Лекция Преобразование Фурье. Свойства преобразования Фурье. ∂-функция Дирака. Примеры решения интеграла Фурье

Преобразование Фурье

Запишем интеграл Фурье в виде двух равенств:

clip_image002 (1)

и clip_image004 (2)

Здесь формулы (2) и (1) называют соответственно прямым и обратным преобразованием Фурье, которые устанавливают связь между образом clip_image006 и прообразом clip_image008: clip_image010.

Свойства преобразования Фурье:

1. Однородность: clip_image012.

2. Аддитивность: clip_image014.

3. Подобие: clip_image016.

4. Дифференцирование прообраза: clip_image018 — в точках непрерывности.

При одностороннем преобразовании Фурье

clip_image020.

Для clip_image022-ной производной:

clip_image024.

5. Интегрирование прообраза: clip_image026.

6. Дифференцирование спектральной плотности: clip_image028.

7. Теорема запаздывания clip_image030

8. Теорема смещения спектра: clip_image032.

Определение: Сверткой функций clip_image034 называется функция clip_image036.

Теорема (свертывания)

Образ свертки двух функций равен произведению их образов: clip_image038.

Спектральная плотность некоторых функций

1. Прямоугольный импульс. clip_image040

clip_image042clip_image044

=clip_image046

clip_image048

∂-функция Дирака

Определение

Непрерывная или кусочно – непрерывная функция ∂(t,λ) аргумента t, зависящая от параметра λ называется иглообразной, если:

1. ∂(t,λ)=0 при clip_image002[4]

2. ∂(t,λ)≥0 при clip_image002[5]

3. clip_image004[4]

например, clip_image006[4]

Пусть clip_image008[4] — непрерывная функция и числа а, b – разных знаков. По теореме о среднем существует такое clip_image010[4]. Если clip_image012[4] то и clip_image014[4], отсюда clip_image016[4], в то же время при clip_image018[4]: clip_image020[4] ∂-функция Дирака вводится равенством clip_image022[4]

Итак, ∂-функция может быть определена равенствами: clip_image024[4].

Если ввести ∂-функцию, запаздывающую на t0, то clip_image026[4] при clip_image028[4] получим фильтрующее свойство: clip_image030[4]

Заметим, что ∂-функция четная: clip_image032[4]

Пример

Найти преобразование Фурье ∂-функции clip_image034[4].

clip_image036[4]

если t0=0, то clip_image038[4].

Практические занятия

1. Интеграл Фурье

Пр 1.

Представить интегралом Фурье функцию

clip_image002[9]

функция clip_image004[7] удовлетворяет условиям теоремы Дирихле (кус.-непрер.) и clip_image006[6]

Значит при clip_image008[6] clip_image010[6]

clip_image012[7]

clip_image014[6]по инт. теор. Фурье=clip_image016[6]

Пр 2.

Найти clip_image018[6]

Решение:

В предыдущем примере возьмем θ=1, t=0, h=1.

clip_image020[7].

Пр 3.

представить интегралом Фурье функцию

clip_image022[6]. Функция удовлетворяет условиям Фурье, четная.clip_image024[7], где clip_image026[6]. Здесь clip_image028[7]

clip_image030[6], значит clip_image032[6].

В частности при t=1 получим: clip_image034[6], т.е. clip_image036[6].

Обновлено: 04.02.2019 — 15:03

Добавить комментарий

Образовательный сайт © 2019