UniverHelper.RU

Сайт для студентов. Здесь Вы найдёте всё, что нужно для обучения

Лекция Преобразование Фурье. Интеграл Фурье. Вывод формулы Фурье. Формула Фурье в виде однократного интеграла

Преобразование Фурье

1. Интеграл Фурье. Вывод формулы Фурье.

Как известно, всякую (периодическую или непериодическую) функцию clip_image004, удовлетворяющую на отрезке clip_image006 условиям теоремы Дирихле, можно разложить на этом отрезке в ряд Фурье

clip_image008 (1)

где clip_image010

clip_image012

clip_image014 (2)

В точках непрерывности clip_image016, в точках разрыва clip_image018: clip_image020.

Если при этом функция clip_image004[1] clip_image022-периодическая, то это разложение справедливо для clip_image024.

Рассмотрим случай, когда clip_image004[2] непериодическая функция, заданная на бесконечном промежутке clip_image026 (т.е. clip_image028). Будем полагать, что на любом конечном промежутке clip_image006[1] ф-я clip_image004[3] удовлетворяет условиям теоремы Дирихле и абсолютно интегрируема на всей числовой оси, т.е. сходится следующий несобственный интеграл:

clip_image030 (3)

Говорят, что clip_image004[4] абсолютно интегрируема на всей числовой оси. Подставляя (2)clip_image032(1), получим:

clip_image002[1]clip_image034,

clip_image036 (4)

Устремим clip_image038. Первое слагаемое при этом стремится к 0:

т.к. clip_image040

Во втором слагаемом имеем:

clip_image042 — бесконечная арифметическая прогрессия с разностью clip_image044 причем при clip_image046 имеем clip_image048. Тогда:

clip_image050, где clip_image052clip_image054.

Полученная сумма является интегральной суммой для функции clip_image002[2]clip_image056. Поэтому, переходя в (3) к пределу при clip_image038[1], получим clip_image058, или

clip_image060 (4)

— интеграл Фурье для функции clip_image004[5].

Формула Фурье имеет место в точках непрерывности функции clip_image004[6], а в точках разрыва интеграл Фурье равен полусумме его односторонних пределов: clip_image062.

Формула Фурье в виде однократного интеграла

Формулу (4) можно представить в другой форме, раскрыв косинус разности:

clip_image002[8]

clip_image004[16] или

clip_image006[6], где (5)

clip_image008[5] (5)

clip_image010[5] (5’)

Здесь видна аналогия между рядом Фурье и интегралом Фурье – функция раскладывается в сумму гармонических составляющих, но если в ряде Фурье величина n принимает дискретные значения, то в интеграле Фурье переменная clip_image012[7] — непрерывна.

Обновлено: 04.02.2019 — 01:31

Добавить комментарий

Образовательный сайт © 2019