UniverHelper.RU

Сайт для студентов. Здесь Вы найдёте всё, что нужно для обучения

Лекция Предел, непрерывность и производная вектор-функции. Геометрический и механический смысл первой производной вектор-функции

1.3. ПРЕДЕЛ, НЕПРЕРЫВНОСТЬ И ПРОИЗВОДНАЯ ВЕКТОР–ФУНКЦИИ

Определение 1.4 Вектор clip_image002 называется пределом вектор-функции clip_image004при clip_image006, если

clip_image008. (1.4)

Определение 1.5 Вектор-функция clip_image004[1] называется непрерывной в точке t0, если она имеет в этой точке предел, равный значению вектор-функции в этой точке:

clip_image010. (1.5)

Определение 1.6 Производной вектор-функции clip_image004[2] в точке t называется предел отношения приращения вектор-функции к приращению аргумента clip_image012 при clip_image014:

clip_image016 (1.6)

 

1.4. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ И МЕХАНИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПЕРВОЙ ПРОИЗВОДНОЙ ВЕКТОР-ФУНКЦИИ

Геометрический смысл первой производной вектор-функции скалярного аргумента заключается в том, что эта производная представляет собой новый вектор, направленный по касательной к годографу: clip_image002[4]. Покажем это.

clip_image004

Рисунок 2

Будем предполагать, что годограф рассматриваемой вектор-функции есть непрерывная линия, имеющая касательную в любой своей точке.

Дадим аргументу t приращение clip_image006[4], тогда геометрически отношение clip_image008[5] — это некоторый вектор clip_image010[5], лежащий на секущей ММ’. При clip_image012[4] этот вектор поворачивается и превращается в вектор clip_image014[4], лежащий на касательной и направленный в сторону возрастания t. Таким образом, вектор

clip_image016[5] (1.7)

будет единичным вектором касательной, ориентированный в сторону возрастания параметра t.

Следовательно, вектор clip_image018 можно взять в качестве направляющего вектора касательной к кривой clip_image020 в точке clip_image022), (или clip_image024), и уравнение касательной записать в виде:

clip_image026 (1.8)

Если tвремя, а clip_image020[1] — радиус-вектор точки clip_image028, движущейся в трёхмерном пространстве, то отношение clip_image008[6] называется средней скоростью точки на отрезке [t; t+clip_image030t].

Механический смысл первой производной вектор-функции заключается в том, что эта производная представляет собой скорость точки М в момент t: clip_image032

Правила дифференцирования вектор-функций

1. clip_image034, т.е. при дифференцировании вектор-функции дифференцируются её координаты;

2. clip_image036, (где clip_image038 — постоянный вектор, 0 – нулевой вектор);

3. clip_image040;

4. clip_image042, где l — постоянное число;

5. clip_image044, где u – скалярная функция от t ;

6. clip_image046, где clip_image048 – скалярное произведение;

7. clip_image050, где clip_image052 – векторное произведение.

Докажем правило 1, пользуясь правилами вычитания векторов и деления вектора на число:

clip_image002[6]

clip_image004[8]clip_image006[6]

Доказательство остальных правил основываются на правиле 1 и правилах действий с векторами.

Пример 1.1: Дана вектор-функция clip_image008[9]. Построить её годограф и составить уравнение ее касательной в произвольной точке.

image

Решение. Для любой точки (x, y, z) годографа вектор – функции имеем: x=acost; y=asint; z=bt и поэтому при любом clip_image004[10]

выполняется равенство x2+y2=a2, а образующая параллельна оси Oz.

Если параметр t интерпретировать как время, то при равномерном движении по окружности проекции конца радиус–вектора на плоскость Oxy его проекция на ось Oz будет двигаться равномерно и прямолинейно со скоростью b.

Иначе говоря, аппликата точки годографа вектор-функции растет пропорционально углу поворота ее проекции на плоскость Oxy. Поэтому искомый годограф будет иметь вид, изображенный на рис.3 и он называется винтовой линией. Для нахождения касательных к годографу (винтовой линии) найдем производную вектор–функции.

По правилу 1:

clip_image002[8]clip_image004[12]

Уравнение касательной к винтовой линии имеет вид

clip_image006[8]

Если интерпретировать годограф вектор–функции как траекторию движущейся материальной точки, то ее скорость clip_image008[11] равна clip_image010[7]clip_image012[6]=clip_image014[6]=clip_image016[7],

т.е. является постоянной по величине. Постоянными являются также и ее проекции на плоскость Oхy и ось Oz.

Пример 1.2 Показать, что кривая clip_image018[4] лежит на эллипсоиде.

Решение. Путём подстановки проверяется выполнение уравнения эллипсоида

clip_image020[6]

Пример 1.3 Доказать, что если длина векторов clip_image022[4] постоянна в окрестности точки clip_image024[4] и существует производная clip_image026[5], то векторы clip_image028[4] и clip_image026[6] — ортогональны.

Решение. Поскольку clip_image030[4], то clip_image032[4] и clip_image034[5]

т.е. векторы clip_image022[5] и clip_image037 перпендикулярны.

Пример 1.4 Доказать, что годографом вектор-функции clip_image039 — постоянные векторы, причем векторы clip_image041 и clip_image043 не коллинеарны, является парабола.

Решение. Рассмотрим два случая:

1) векторы clip_image045 линейно независимы. Тогда, принимая их за базис в R3, получим представление в этом базисе:

clip_image047

т.е. годограф лежит в плоскости х=1 и является параболой clip_image049.

2) Вектор clip_image051 зависит от векторов clip_image053: clip_image055, тогда годограф лежит в плоскости векторов clip_image053[1] и clip_image057, и его представление в базисе clip_image053[2]: clip_image059, откуда clip_image061, т.е. годограф будет параболой.

Обновлено: 03.02.2019 — 23:25

Добавить комментарий

Образовательный сайт © 2019