UniverHelper.RU

Сайт для студентов. Здесь Вы найдёте всё, что нужно для обучения

Лекция Основные классы векторных полей. Соленоидальное поле. Потенциальное поле. Гармоническое поле

Основные классы векторных полей

1.Соленоидальное поле

Определение: Поле clip_image002 называется соленоидальным, если во всех его точках дивергенция равна 0, clip_image004 т.е. нет источников и стоков, поскольку по формуле Остроградского: clip_image006Т.е. в соленоидальном поле поток через любую замкнутую поверхность равен нулю.

2. Потенциальное поле

Сила равна градиенту функции U.

image

Определение: Векторное поле clip_image002[5] называется потенциальным (безвихревым), если во всех точках поля его ротор равен нулю clip_image004[5].

Свойства потенциального поля:

а) Циркуляция потенциального поля clip_image002[6] по любому замкнутому контуру равна нулю.

clip_image006[6]

б) В потенциальном поле clip_image002[7] криволинейный интеграл по дуге clip_image008 зависит только от положения точек clip_image010 и clip_image012, и не зависит от формы кривой clip_image008[1].

image

Это свойство следует из свойства а)

clip_image002[15]; clip_image004[11]

в) Потенциальное поле является полем градиента некоторой скалярной функции clip_image006[20], если clip_image008[10], то существует такая функция clip_image006[21], что clip_image010[8].

Таким образом, потенциальное поле clip_image012[8] можно задавать не тремя функциями clip_image014[8]а одной функцией clip_image006[22]— потенциалом.

Потенциал находится с точностью до константы по формуле:

clip_image016[6] (9)

Пример: Установить потенциальность поля clip_image018[6] и найти его потенциал.

1) покажем, что поле потенциально

clip_image020clip_image008[11].

clip_image022

поле потенциально

2) найдем потенциал по формуле (9)

clip_image024clip_image020[1]

Гармоническое поле

Определение: Векторное поле clip_image002[17] называется гармоническим, если оно одновременно является потенциальным и соленоидальным, т.е. clip_image004[13] и clip_image006[26]. Примером гармонического поля является поле скоростей стационарного безвихревого потока жидкости при отсутствии в нем источников и стоков.

Получим условие для потенциала.

Т.к. clip_image007, то существует clip_image009 такое, что clip_image011.

Тогда из условия clip_image006[27], следует что clip_image013

clip_image015, т.е. потенциал clip_image017является решением уравнения Лапласа (гармонической фукцией).

Обновлено: 04.02.2019 — 00:47

Добавить комментарий

Образовательный сайт © 2019