Лекция Основные классы векторных полей. Соленоидальное поле. Потенциальное поле. Гармоническое поле

Основные классы векторных полей

1.Соленоидальное поле

Определение: Поле называется соленоидальным, если во всех его точках дивергенция равна 0, т.е. нет источников и стоков, поскольку по формуле Остроградского: Т.е. в соленоидальном поле поток через любую замкнутую поверхность равен нулю.

2. Потенциальное поле

Сила равна градиенту функции U.

Определение: Векторное поле называется потенциальным (безвихревым), если во всех точках поля его ротор равен нулю .

Свойства потенциального поля:

а) Циркуляция потенциального поля по любому замкнутому контуру равна нулю.

б) В потенциальном поле криволинейный интеграл по дуге зависит только от положения точек и , и не зависит от формы кривой .

Это свойство следует из свойства а)

;

в) Потенциальное поле является полем градиента некоторой скалярной функции , если , то существует такая функция , что .

Таким образом, потенциальное поле можно задавать не тремя функциями а одной функцией — потенциалом.

Потенциал находится с точностью до константы по формуле:

(9)

Пример: Установить потенциальность поля и найти его потенциал.

1) покажем, что поле потенциально

.

поле потенциально

2) найдем потенциал по формуле (9)

Гармоническое поле

Определение: Векторное поле называется гармоническим, если оно одновременно является потенциальным и соленоидальным, т.е. и . Примером гармонического поля является поле скоростей стационарного безвихревого потока жидкости при отсутствии в нем источников и стоков.

Получим условие для потенциала.

Т.к. , то существует такое, что .

Тогда из условия , следует что

, т.е. потенциал является решением уравнения Лапласа (гармонической фукцией).