UniverHelper.RU

Сайт для студентов. Здесь Вы найдёте всё, что нужно для обучения

Лекция Линейные однородные дифференциальные уравнения (ЛОДУ)

ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Определение:

Линейным д.у. называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции и ее производных:

clip_image002 (1)

Если правая часть clip_image004 не равна тождественно нулю, то уравнение (1) называется линейным неоднородным д.у.(ЛНДУ)

Линейные однородные дифференциальные уравнения. (ЛОДУ)

Если в уравнении (1) clip_image006, то уравнение (1) называется линейным однородным д.у.(ЛОДУ). Рассмотрим однородное уравнение:

clip_image008 (2)

Будем считать, что коэффициенты clip_image010 –непрерывные функции.

Его можно записать в виде clip_image012 , где clip_image014–линейный дифференциальный оператор.

Оператор clip_image016обладает свойствами линейности:

1) clip_image018

2) clip_image020 ,c=const.

Докажем эти сойства:

1) clip_image022

clip_image024

2) clip_image026

clip_image028

Теорема (о линейной комбинации решений ЛОДУ)

Если функции clip_image030 являются решениями ЛОДУ уравнения (2), то и их линейная комбинация clip_image032 с произвольными постоянными коэффициентами тоже будет решением уравнения (2). (Доказать дома)

Теорема2 (о комплексном решении ЛОДУ).

Если ЛОДУ (2) с действительными коэффициентами clip_image010[1] имеет комплексное решение clip_image035 , то его действительная clip_image037 и мнимая clip_image039 части каждая являются решениями уравнения (2).

(Доказать дома).

Определение:

Функции clip_image041называются линейно независимыми, если существуют такие коэффициенты clip_image043 не все равные нулю, что

clip_image045 (3)

Если же тождество (3) имеет мест только при всех clip_image047 то функции clip_image041[1]называются линейно независимыми.

Примеры:

1)Совокупность функций clip_image050 , при clip_image052 clip_image054 будет линейно независимой.

2)Совокупность clip_image056 тоже линейно независима.

Теорема (о линейной зависимости функций)

Если функции clip_image041[2] линейно зависимы на отрезке clip_image059, то определитель Вронского

clip_image061 (4)

на этом отрезке тождественно равен нулю.

Доказательство

Дано, что clip_image063, clip_image065 причем не все clip_image067 равны нулю. Дифференцируя это равенство п1 раз, получим систему уравнений

clip_image069

Эта система имеет ненулевое решениеclip_image071, следовательно, ее определитель (4) равен нулю. clip_image065[1]

Теорема (об общем решении ЛОДУ)

Если функции clip_image041[3] являются независимыми частными решениями ЛОДУ (2) на отрезке clip_image075, то их линейная комбинация clip_image077 будет общим решением уравнения (2).

Следствие Максимальное число линейно независимых решений ЛОДУ равно его порядку.

Определение:

Любые п линейно независимых частных решений уравнения (2) называются фундаментальной системой решений.

Примеры:

1)Уравнение clip_image079 имеет независимые частные решения clip_image081 и clip_image083. Здесь

clip_image085

Значит, его общим решением будет clip_image087.

2)Уравнение clip_image089 имеет частные решения clip_image091, однако они линейно зависимы, так как

clip_image093

и не образуют фундаментальную систему решений.

В качестве фундаментальной системы решений этого уравнения можно взять функции: clip_image095; clip_image097; clip_image099, так как они линейно независимы:

clip_image101

Общее решение: clip_image103

Обновлено: 04.02.2019 — 00:59

Добавить комментарий

Образовательный сайт © 2019