UniverHelper.RU

Сайт для студентов. Здесь Вы найдёте всё, что нужно для обучения

Лекция Криволинейный интеграл 2-го рода и его свойства. Вычисление криволинейного интеграла 2-го рода.

Криволинейный интеграл 2-го рода.

Рассмотрим ориентированную незамкнутую кривую L = АВ в плоскости хОу с началом в точке А и концом в точке В; z=P(x,y) — функция, определенная на кривой L. Разобьем кривую L последовательными точками

А0, А1, А2, . . . , Аn

на дуги L1= А0А1, L2= А1А2, . . . , Ln= Аn-1Аn и на дуге Li выберем произвольную точку Мi(хi, уi) (i = 1, 2, . . . , n). Обозначим Dxi = xixi1 , Dyi = yi yi1, а d -наибольшую из длин дуг Li (i =1,2,…, n).

Составим интегральную сумму функции P(x,y) по кривой L относительно х

clip_image002

Определение. Предел clip_image004, если он существует, называется криволинейным интегралом 2-го рода от функции P(x,y) по кривой L относительно х и обозначается

clip_image005

Рисунок 16

clip_image007 (5)

В случае замкнутой кривой L выбирается произвольная точка на кривой, которая принимается за концевые точки А, В, и криволинейный интеграл 2-го рода определяется аналогично случаю незамкнутой кривой.

Теорема (достаточное условие существования интеграла). Если функция P(x,y) непрерывна на кривой L за исключением, быть может, конечного числа точек и ограничена на L, то криволинейный интеграл 2-го рода (5) существует.

 

Некоторые свойства криволинейного интеграла 2-го рода.

Для криволинейных интегралов 2-го рода выполняются свойства линейности и аддитивности по области, аналогичные свойства 2), 3), 4) криволинейных интегралов первого рода, и свойство антиориентированности

clip_image009.

Это свойство связано с тем, что при изменении направления обхода кривой все приращения Dxi и, следовательно, интегральная сумма Sx изменяют знак.

Аналогично определяется криволинейный интеграл 2-го рода от функции Q(x,y) по кривой L относительно у

clip_image011, (6)

где clip_image013.

Пусть на ориентированной кривой L определены две функции P(x, y) и Q(x, y). Тогда сумма интегралов (5) и (6) называется общим криволинейным интегралом 2-го рода от функций P(x,y) и Q(x,y) по кривой L и обозначается

clip_image015 (7)

 

Физический смысл криволинейного интеграла 2-го рода.

Пусть clip_image017 — вектор силы, действующей на материальной точку М(x, y) ориентированной кривой L. Тогда работа, совершаемая силой clip_image019 при перемещении точки М вдоль ориентированной кривой L, равна

clip_image021 (8)

Замечание. Криволинейный интеграл 2-го рода аналогично определяется и для пространственной ориентированной кривой.

Площадь плоской фигуры. Пусть простая (т.е. без самопересечений) замкнутая кривая L ориентирована “против часовой стрелки”, D — область, ограниченная кривой L. Тогда площадь области D находится по формуле:

clip_image023 (9)

Вычисление криволинейного интеграла 2-го рода.

Пусть ориентированная кривая L задана параметрическими уравнениями

x = j (t), y=y (t), a t b,

где j (t), y (t) — непрерывно дифференцируемые на отрезке [a, b ] функции. Тогда

clip_image025=

= clip_image027 (10)

Пределы интегрирования выбираются в соответствии с ориентацией кривой L: если ориентации кривой L соответствует изменение параметра t от a до b, то в формуле (10) выбирается первый вариант пределов интегрирования. В противном случае в (10) нужно выбирать вариант пределов интегрирования в скобках.

Пусть кривая L задана явно уравнением y=f(x), ax b, где f(x) — непрерывно дифференцируемая на отрезке [a, b] функция. Тогда

clip_image029. (11)

Пределы интегрирования выбираются в соответствии с ориентацией кривой L, как в формуле (10).

Примеры. 1) Вычислить работу силы clip_image031, приложенной к точке М(x, y) при перемещении точки вдоль кривой x=2cost, y=2sint, 0 t p/2 от точки В(0, 2) до точки А(2, 0).

Решение. Данная кривая — это дуга окружности радиуса 2 в первой четверти. По формуле (8) искомая работа равна

clip_image033

Положим clip_image035

и применим формулу (11). При этом учтем, что при движении по кривой от точки В до точки А параметр t изменяется от p/2 до 0.

clip_image037

clip_image039

2) Вычислить clip_image041, где кривая ОА – дуга параболы clip_image043.

Решение. Положив clip_image045,

применим формулу (11), при этом учтем тот факт, что при движении по кривой от точки О до А переменная x меняется от 0 до 4.

clip_image047

3) Вычислить clip_image049 где L — замкнутая линия ОВАО, О(0; 0), А(4; 4), В(4; 0).

clip_image050

Решение. Кривая L состоит из линий ОВ, ВА и АО. По свойству аддитивности

clip_image052 (12)

Отрезок ОВ задается уравнением у = 0 при 0≤х≤4. Значит, dy=0. Тогда

clip_image054

Отрезок ВA задается уравнением х = 4 при 0 ≤ у ≤ 4. Тогда dх=0 и

clip_image056

Кривая АО задается уравнением clip_image058 при изменении значения у от 4 до 0. Значит, clip_image060 и

clip_image062.

Подставив вычисленные интегралы в (12), получаем

clip_image064

Замечание. По формуле (9) видно, что вычисленный интеграл равен удвоенной площади области, ограниченной контуром ОВАО.

Обновлено: 04.02.2019 — 00:00

Добавить комментарий

Образовательный сайт © 2019