Лекция Криволинейный интеграл 2-го рода и его свойства. Вычисление криволинейного интеграла 2-го рода.

Криволинейный интеграл 2-го рода.

Рассмотрим ориентированную незамкнутую кривую L = АВ в плоскости хОу с началом в точке А и концом в точке В; z=P(x,y) — функция, определенная на кривой L. Разобьем кривую L последовательными точками

А₀=А, А₁, А₂, . . . , А_n=В

на дуги L₁= А₀А₁, L₂= А₁А₂, . . . , L_n= А_n_-1А_nи на дуге L_i выберем произвольную точку М_i(х_i, у_i) (i = 1, 2, . . . , n). Обозначим Dx_i = x_i—x_i_—₁, Dy_i = y_i — y_i_—₁, а d -наибольшую из длин дуг L_i (i =1,2,…, n).

Составим интегральную сумму функции P(x,y) по кривой L относительно х

Определение. Предел , если он существует, называется криволинейным интегралом 2-го рода от функции P(x,y) по кривой L относительно х и обозначается

Рисунок 16

(5)

В случае замкнутой кривой L выбирается произвольная точка на кривой, которая принимается за концевые точки А, В, и криволинейный интеграл 2-го рода определяется аналогично случаю незамкнутой кривой.

Теорема (достаточное условие существования интеграла). Если функция P(x,y) непрерывна на кривой L за исключением, быть может, конечного числа точек и ограничена на L, то криволинейный интеграл 2-го рода (5) существует.

Некоторые свойства криволинейного интеграла 2-го рода.

Для криволинейных интегралов 2-го рода выполняются свойства линейности и аддитивности по области, аналогичные свойства 2), 3), 4) криволинейных интегралов первого рода, и свойство антиориентированности

Это свойство связано с тем, что при изменении направления обхода кривой все приращения Dx_i и, следовательно, интегральная сумма S_x изменяют знак.

Аналогично определяется криволинейный интеграл 2-го рода от функции Q(x,y) по кривой L относительно у

, (6)

где .

Пусть на ориентированной кривой L определены две функции P(x, y) и Q(x, y). Тогда сумма интегралов (5) и (6) называется общим криволинейным интегралом 2-го рода от функций P(x,y) и Q(x,y) по кривой L и обозначается

(7)

Физический смысл криволинейного интеграла 2-го рода.

Пусть — вектор силы, действующей на материальной точку М(x, y) ориентированной кривой L. Тогда работа, совершаемая силой при перемещении точки М вдоль ориентированной кривой L, равна

(8)

Замечание. Криволинейный интеграл 2-го рода аналогично определяется и для пространственной ориентированной кривой.

Площадь плоской фигуры. Пусть простая (т.е. без самопересечений) замкнутая кривая L ориентирована “против часовой стрелки”, D — область, ограниченная кривой L. Тогда площадь области D находится по формуле:

(9)

Вычисление криволинейного интеграла 2-го рода.

Пусть ориентированная кривая L задана параметрическими уравнениями

x = j (t), y=y (t), a ≤ t ≤b,

где j (t), y (t) — непрерывно дифференцируемые на отрезке [a, b ] функции. Тогда

= (10)

Пределы интегрирования выбираются в соответствии с ориентацией кривой L: если ориентации кривой L соответствует изменение параметра t от a до b, то в формуле (10) выбирается первый вариант пределов интегрирования. В противном случае в (10) нужно выбирать вариант пределов интегрирования в скобках.

Пусть кривая L задана явно уравнением y=f(x), a≤ x ≤b, где f(x) — непрерывно дифференцируемая на отрезке [a, b] функция. Тогда

. (11)

Пределы интегрирования выбираются в соответствии с ориентацией кривой L, как в формуле (10).

Примеры. 1) Вычислить работу силы , приложенной к точке М(x, y) при перемещении точки вдоль кривой x=2cost, y=2sint, 0 ≤ t ≤p/2 от точки В(0, 2) до точки А(2, 0).