UniverHelper.RU

Сайт для студентов. Здесь Вы найдёте всё, что нужно для обучения

Лекция Криволинейный интеграл 1-го рода и его свойства. Вычисление криволинейного интеграла 1-го рода.

Криволинейные интегралы.

Криволинейный интеграл 1-го рода.

Пусть L — незамкнутая кривая на плоскости хОу с концевыми точками А, В; z=f(x,y) — функция, определенная в точках кривой L. Разобьем кривую L последовательными точками

А0, А1, А2, . . . , Аn

на дуги L1= А0А1, L2= А1А2, . . . , Ln= Аn-1Аn.

На дуге Li выберем произвольную точку Мi (хi, уi) (i = 1,2,…, n). Обозначим Dli длину дуги Li , а

clip_image002

clip_image004

Составим интегральную сумму функции f (x,y) по кривой L

clip_image006

Определение. Предел clip_image008, если он существует, называется криволинейным интегралом 1-го рода от функции f (x,y) по кривой L и обозначается

clip_image010 (1)

В случае замкнутой кривой L выбирается произвольная точка на кривой, которая принимается за концевые точки А, В, и криволинейный интеграл 1-го рода определяется аналогично случаю незамкнутой кривой.

Теорема (достаточное условие существования интеграла). Если функция f (x,y) непрерывна на кривой L за исключением, быть может, конечного числа точек и ограничена на L, то криволинейный интеграл 1-го рода (20) существует.

Некоторые свойства криволинейного интеграла 1-го рода.

1) clip_image002[4],

2) clip_image004[8]

3) clip_image006[5]

4) clip_image008[4]

5) ½L½=clip_image010[6], где ½L½- длина кривой L.

Физический смысл криволинейного интеграла 1-го рода.

Пусть L кривая с линейной плотностью массы m (х, у). Тогда масса кривой находится по формуле:

clip_image002[6] (2)

Замечание. Криволинейный интеграл 1-го рода аналогично определяется и для пространственной кривой.

Вычисление криволинейного интеграла 1-го рода.

Пусть кривая L задана параметрическими уравнениями

x = j (t), y=y (t), a t b,

где j (t), y (t) — непрерывно дифференцируемые на отрезке [a, b ] функции. Тогда

clip_image002[1]. (22)

Пусть кривая L задана явно уравнением

y=g(x), ax b,

где g (x) — непрерывно дифференцируемая на [a, b] функция. Тогда

clip_image004[1]. (4)

clip_image005

Примеры. 1) Вычислить интеграл clip_image007, где L часть окружности x2 + y2 = 4, расположенная в первой четверти координатной плоскости.

Решение. Параметрическое уравнение данной кривой L имеет вид x = 2cost , y=2sint, 0 t p/2. Сначала вычислим

clip_image009=clip_image011clip_image013

Далееclip_image015.

Теперь:

clip_image017

2) Вычислить массу части параболы y2 =4х от точки О(0, 0) до точки А(4, 4), если ее линейная плотность равна m (х, у) = у.

Решение. Положим

clip_image018

clip_image020

По формуле (4) имеем

clip_image022

clip_image024

clip_image026

Обновлено: 03.02.2019 — 23:50

Добавить комментарий

Образовательный сайт © 2019