UniverHelper.RU

Сайт для студентов. Здесь Вы найдёте всё, что нужно для обучения

Лекция Комплексные числа. Функции комплексной переменной. Предел и непрерывность функции комплексной переменной. Свойства пределов

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Лекция 1 . Комплексные числа

Лекция 2. Функции комплексной переменной

 

Рассмотрим два множества комплексных чисел D и E на комплексных плос­костях clip_image002 и

clip_image004

image

Определение. Если каждому числу clip_image002[4] по некоторому закону поставлено в соответствие число clip_image004[4], то говорят, что на множестве D задана функция комплексной переменной clip_image006, отображающая множество D в множество E.

Множество точек на плоскости называется открытым, если каждая его точка принадлежит этому множеству вместе с некоторой своей окрестностью. Множество называется связным, если любые его две точки можно соединить непрерывной линией, целиком лежащей в этом множестве.

Определение. Областью называется открытое связное множество точек плоскости.

Будем считать, что области определения D и значений E являются областями в смысле данного определения.

Функцию clip_image006[1] можно записать в виде:

clip_image009, т.е.

clip_image011, где

clip_image013; clip_image015, clip_image017.

Т.е. задание функции комплексной переменной равносильно заданию двух функций двух действительных переменных.

Пример 1 Найти действительную и мнимую части функции clip_image021.

Решение. clip_image023;

clip_image025; clip_image027.

 

Предел и непрерывность функции комплексной переменной

Пусть функция clip_image002[6]определена в некоторой окрестности точки clip_image004[6] (быть может, за исключением самой точки clip_image004[7]).

Определение. Число clip_image007 называется пределом функции clip_image009[5]в точке clip_image004[8], если clip_image012действ. clip_image014 clip_image016 такое действительное число clip_image018, что clip_image020 такого, что clip_image022 выполняется неравенство clip_image024.

В кванторах:

clip_image026

Для существования предела clip_image028 необходимо и достаточно, чтобы существо­вали пределы clip_image030 и clip_image032 при любом пути стремления clip_image034

 

Свойства пределов

1) clip_image036;

2) clip_image038.

3) clip_image040

4) clip_image042, если clip_image044.

Пусть функция clip_image046 определена в точке clip_image004[9] и ее некоторой окрестности.

Определение. Функция clip_image002[7] называется непрерывной в точке clip_image004[10], если clip_image051, при любом способе стремления clip_image053.

Другое определение непрерывности. Функция clip_image002[8] называется непрерывной в точке clip_image004[11], если бесконечно малому по модулю приращению аргу­мента clip_image057 соответствует бесконечно малое приращение функции: clip_image059.

Функция clip_image061называется непрерывной в области D, если она непрерывна в каждой точке этой области.

Обновлено: 05.02.2019 — 00:04

Добавить комментарий

Образовательный сайт © 2019