UniverHelper.RU

Сайт для студентов. Здесь Вы найдёте всё, что нужно для обучения

Лекция Двойной интеграл в полярных координатах. Вычисление площади фигуры. Вычисление объема цилиндрического тела.

Двойной интеграл в полярных координатах.

В полярных координатах точка M однозначно определяется полярным углом φ (0 ≤ φ <2π или –π < φ £ π) и полярным радиусом r (r0). Для начала координат O радиус r = 0, а полярный угол не определен.

Пусть декартова полуось Ox совпадает с полярным лучом.

Декартовы координаты выражаются через полярные по формулам

clip_image002 (14)

Полярные координаты выражаются через декартовы:

clip_image004. (15)

image

Пусть область D в декартовых координатах преобразуется в область Dr в полярных координатах согласно формулам (10).

Якобиан в данном случае равен:

clip_image002[5]

Тогда интеграл (2) преобразуется в двойной интеграл в полярных координатах по формуле

clip_image004[5] (16)

Двойной интеграл (16) вычисляется переходом к повторному интегралу в полярных координатах. Пусть область Dr имеет вид

Dr = { (r, φ ) : α ≤ φ ≤ β, r1(φ)rr2 (φ)},

где лучи φ = α и φ = β ограничивают сектор, в котором находится фигура Dr , кривые r = r1(φ), r = r2 (φ) ограничивают ее в этом секторе. Тогда

clip_image006 (17)

Замечание. При расстановке пределов интегрирования в повторном интеграле нужно учесть, что изменение полярного угла определяется поворотом луча, исходящего из начала O вокруг него против хода часовой стрелки, а изменение полярного радиуса определяется движением точки вдоль луча в сторону его возрастания.

Примеры.

image1). Расставить пределы интегрирования в повторном интеграле в полярных координатах

clip_image002[7]

где Dr полукруг из рисунка 5.

Решение. Все точки этого полукруга будут охвачены, если луч Оl будет поворачиваться от clip_image004[7] до φ = 0 против хода часовой стрелки. Значит, clip_image006[5]. Пусть теперь луч Оl имеет полярный угол clip_image008. Тогда при движении точки полукруга по лучу Оl (рис. 5) от точки О до точки M полярный радиус r изменяется от 0 до координаты r=2cosφ точки M. Значит,

0 ≤ r ≤ 2cos φ. Таким образом, Dr = {(r, φ): clip_image008[1], 0 ≤ r ≤ 2 cos φ} . Следовательно,

clip_image010

2) Вычислить clip_image012 где D = {(x, y): x2 + y2-2x0, y0} .

Решение. Подставим в уравнение окружности x2 +y2-2x = 0 полярные координаты (9) и преобразуем: r2-2 rcosφ = 0 clip_image014 r =2cosφ. Мы получили уравнение полуокружности в полярных координатах из рисунка 5. Поскольку y0, то D — полукруг из примера 3. Расставим пределы интегрирования как в этом примере и вычислим:

clip_image016

clip_image018

clip_image020

 

Вычисление площади фигуры.

clip_image001

Площадь плоской фигуры вычисляется по формуле clip_image003

Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями clip_image005

Решение. Данная фигура D расположена в вертикальной полосе 0 ≤ x ≤ 2, а в ней ограничена снизу параболой y = x2, сверху — прямой y = 4 (рис. 6). По формуле (5) имеем

clip_image007clip_image009.

 

Вычисление объема цилиндрического тела.

Если f (x,y) ≥ 0 в ограниченной области D, то объем цилиндрического тела (рис.1) вычисляется по формуле

V = clip_image002[9]

Пример. Найти объем тела, ограниченного поверхностями

z = 0, x2 + y2 = 4, z = x2 + y2 .

Решение. x2 + y2 = 4 — это круговой цилиндр радиуса 2, ось которого совпадает с Оy. z = x2 + y2 — параболоид, который пересекает цилиндр по окружности радиуса 2 в плоскости z = 4 . z=0 — координатная плоскость xOy. Таким образом, тело ограничено сверху параболоидом

z = x2 + y2 , снизу — кругом D , с боков — цилиндрической поверхностью x2 + y2 = 4. Так как данное тело цилиндрическое и

z = x2 + y2 ≥ 0, то для вычисления его объема можно использовать формулу

clip_image004[9]

где D ={ (x, y) : x2 + y2 ≤ 4, z = 0 } круг в плоскости xOy. Для вычисления этого интеграла перейдем к полярным координатам. При этом круг D преобразуется во множество

Dr ={ (r, φ) : 0 ≤ φ < 2π , 0 ≤ r ≤ 2 }. По формуле (17) получим

clip_image007[4]

clip_image005[4]

Обновлено: 03.02.2019 — 22:24

Добавить комментарий

Образовательный сайт © 2019