UniverHelper.RU

Сайт для студентов. Здесь Вы найдёте всё, что нужно для обучения

Лекция Дивергенция векторного поля. Циркуляция векторного поля. Ротор векторного поля

Дивергенция векторного поля

Дивергенция характеризует распределение и интенсивность источников и стоков поля.

Определение: Дивергенцией (расходимостью) векторного поля clip_image002 в точке М(x,y,z) называется скалярная величина:

clip_image004 (4)

Теперь формулу Остроградского-Гаусса можно записать в виде:

clip_image006 (5)

Т.е. поток поля через замкнутую поверхность S равен тройному поверхностью S от дивергенции. Значит, если в этом объеме дивергенция равна нулю, то суммарный поток через замкнутую поверхность равен нулю.

 

Циркуляция векторного поля

Возьмем в поле вектора clip_image008замкнутую кривую L.

Определение: Циркуляцией вектора clip_image008[1]вдоль замкнутой кривой L называется интеграл:

clip_image010,где clip_image012clip_image014 (6)

clip_image016 (7)

Если кривая L расположена в истоковом поле, то циркуляция – работа силы clip_image008[2], приложенной к материальной точке, при движении точки вдоль контура L.

Пример: Вычислить циркуляцию векторного поля clip_image018 вдоль периметра треугольника АВС с вершинами А(1;0;0), В(0;1;0), С(0;0;1).

Решение:

 

image

clip_image002[4]

clip_image004[4]

1) clip_image006[4]: clip_image008[8]; clip_image010[4]; clip_image012[4]; clip_image014[4]

clip_image016[4]

Аналогично находим интегралы clip_image018[4], clip_image020:

clip_image022; clip_image024 clip_image026

Ротор векторного поля

Определение: Ротором (вихрем) векторного поля clip_image002[7] называется вектор:

clip_image004[7] (8)

или clip_image006[7]

Вспомним формулу Стокса:

clip_image008[10].

Теперь можно записать короче:

clip_image010[6]

Циркуляция вектора clip_image012[6] вдоль замкнутого контура clip_image014[7] равна потоку ротора этого вектора через поверхность с ограниченным контуром clip_image014[8].

Пример: Найти циркуляцию векторного поля clip_image016[7] по окружности clip_image018[7]; clip_image020[4].

1) найдем циркуляцию непосредственно:

clip_image022[4]

clip_image024[4] clip_image026[4]

2) найдем циркуляцию по формуле Стокса

clip_image010[7]; clip_image029;

clip_image031;

clip_image033

Обновлено: 04.02.2019 — 00:38

Добавить комментарий

Образовательный сайт © 2019