UniverHelper.RU

Сайт для студентов. Здесь Вы найдёте всё, что нужно для обучения

Дифференцирование функции комплексной переменной. Аналитические функции. Дифференциал. Условие Коши-Римана (Эйлера-Даламбера). Теорема Коши. Первообразная и неопределённый интеграл. Формула Ньютона-Лейбница

Дифференцирование функции комплексной переменной.

Аналитические функции

1. Определение производной.

2. Условие Коши-Римана (Эйлера-Даламбера).

Определение. Пусть однозначная функция clip_image002 определена в окрестности точки clip_image004, включая саму точку clip_image004[1]. Если существует предел

clip_image007 (1)

image

то он называется производной функции clip_image002[4] в

точке clip_image004[6], а функция clip_image002[5] — дифференцируемой

в точке clip_image004[7].

Заметим, что clip_image008 стремится к нулю произвольным образом.

Теорема (условие Коши-Римана (Эйлера-Даламбера)).

Если функция clip_image002[8] определена в некоторой окрестности точки clip_image004[10], и в этой точке действительные функции clip_image006и clip_image008[4] дифференцируемы, то для дифференцируемоcти функции clip_image010в точке clip_image012[4]необходимо и достаточно, чтобы в этой точке выполнялись равенства:

clip_image014; clip_image016 (2)

Докажем только необходимость.

image Пусть clip_image009 дифференцируема, т.е.

предел (1) существует и не зависит от

пути по которому clip_image011.

а) пусть точка clip_image013 стремится

к clip_image015по прямой, параллельной оси Ох,

т.е. clip_image017, тогда

clip_image002[10]

clip_image004[12] (3)

б) Если же точка clip_image006[4] вдоль прямой, параллельной оси Оу, т.е.

clip_image008[6], то clip_image010[4];

clip_image012[6]

clip_image014[4] (4)

Сравнивая формулы (3) и (4), получим clip_image016[4], ч.т.д.

С учетом условий Эйлера-Даламбера производную clip_image018можно находить по любой из четырех формул:

clip_image020; clip_image022;

clip_image024; clip_image026. (5)

Правила дифференцирования

1) clip_image028;

2) clip_image030;

3) clip_image032 clip_image034;

4) clip_image036;

5) Если clip_image038— обратная функция к clip_image040, т.е. clip_image042, то clip_image044.

Таблица производных основных элементарных функций сохраняется, например:

clip_image046; clip_image048; clip_image050; clip_image052.

Аналитические функции. Дифференциал

Определение. Однозначная функция clip_image002[12]называется аналитической в точке clip_image004[14], если она дифференцируема (выполняется условие Коши-Римана) в некоторой окрестности этой точки.

Точки, в которых функция является аналитической, называются правильными, а в которых не является — особыми.

Заметим, что если функция clip_image002[13] является аналитической, то её действительная и мнимая части удовлетворяют уравнению Лапласа:

clip_image006[6]; clip_image008[8],

т.е. являются гармоническими функциями. Это следует из условий Коши:

clip_image010[6]; clip_image012[8].

Определение. Дифференциалом функции clip_image002[14]называется главная линейная часть её бесконечно малого приращения: clip_image014[6].

Пример 1. Проверить, является ли функция clip_image016[6] аналитической и найти её производную.

Решение. Выделим действительную и мнимую части функции.

clip_image018[4]

Проверим условия Коши: clip_image020[4]clip_image010[7],

clip_image022[4]clip_image012[9], — условия выполняются, функция аналитическая. Её производная: clip_image024[4].

Пример 2. Найти аналитическую функцию clip_image026[4]

по её действительной части clip_image028[4]; если clip_image030[5].

Проверим гармоничность действительной части:

clip_image032[4]; clip_image034[4], clip_image036[4]; clip_image038[4] выполняется.

Из первого условия Коши clip_image040[4] следует, что clip_image042[4], интегрируя это равенство по переменной х, получим:

clip_image044[4]

Подставляя во второе условие Коши clip_image046[4] clip_image048[4],

clip_image028[5], получим:

clip_image050[4]

clip_image052[4], или

clip_image054

clip_image056.

Найдем С из условия clip_image030[6],

т.о. clip_image059; clip_image061; clip_image063; clip_image065

clip_image067

Ответ: clip_image069

Теорема Коши. Первообразная и неопределённый интеграл.

Формула Ньютона-Лейбница

Теорема Коши. Если функция clip_image002[1] аналитична в односвязной области D, то интеграл от этой функции по любому замкнутому контуру L, лежащему в области D, равен нулю, т.е. clip_image004[1].

Следствие. Если функция clip_image002[2] аналитична в односвязной области D, то интеграл от этой функции не зависит от формы пути интегрирования, а зависит лишь от положения начальной и конечной точек пути интегрирования.

Определение Функция clip_image006[1] называется певообразной для функции clip_image002[3] в области D, если clip_image008[1].

Определение Совокупность всех первообразных для функции clip_image002[4] называется неопределённым интегралом от функции clip_image002[5]:

clip_image010[1] если clip_image008[2].

Если функция clip_image002[6] имеет первообразную clip_image006[2], то определённый интеграл может быть найден по формуле Ньютона-Лейбница:

clip_image013[1].

Пример clip_image015[1].


Обновлено: 05.02.2019 — 22:55

Добавить комментарий

Образовательный сайт © 2019