UniverHelper.RU

Сайт для студентов. Здесь Вы найдёте всё, что нужно для обучения

Геометрический смысл модуля и аргумента производной. Конформное отображение. Геометрический смысл аргумента производной. Интегрирование функции комплексной переменной. Свойства интеграла

Геометрический смысл модуля и аргумента производной.

Понятие о конформном отображении

Пусть функция clip_image002 аналитична в точке clip_image004 и clip_image006.

Выясним геометрический смысл аргумента и модуля производной.

image

По определению clip_image002[4]

т.е. модуль производной — это отношение бесконечно малого приращения (расстояния) clip_image004[4] к бесконечно малому приращению аргумента (расстоянию) clip_image006[4], кото­рое одинаково по всем направлениям clip_image008.

Таким образом, геометрический смысл модуля производной состоит в том, что величина clip_image010 определяет коэффициент растяжения (подобия) в точке clip_image012при отображении clip_image014.

Величину clip_image010[1] при clip_image017называется коэффициентом растяжения, а при clip_image019— сжатия.

Пример Найти коэффициент растяжения (сжатия) для функции clip_image021 в точке clip_image023.

Решение. Аналитичность этой функции мы показали ранее, её производная

clip_image025— точке clip_image027: clip_image029, т.е. коэффициент растяжения =5

 

Геометрический смысл аргумента производной

Пусть кривая l на плоскости Оху аргумента z при преобразовании clip_image002[6]переходит в кривую L на плоскости Оuv и при этом точка z0 переходит в точку w0. Тогда

clip_image004[6]

т.е.clip_image006[6]

image

Итак, clip_image002[8]— это угол, на который надо повернуть касательную к кривой clip_image004[8] в точке clip_image006[8], чтобы получить направление касательной к кривой clip_image008[4] в точке w0.

В силу аналитичности функции clip_image010[6] величина clip_image002[9] одинакова для всех кривых clip_image004[9], проходящих через clip_image014[6],

image

следовательно для кривых clip_image002[12] и clip_image004[12], и соответствующих clip_image006[10] и clip_image008[6] clip_image010[8], т.е. угол clip_image012[4] между кривыми в плоскости clip_image014[8]и в плоскости clip_image016сохраняется.

Определение. Отображение clip_image018, обладающее свойством сохранения углов и постоянством растяжения в точке clip_image020 по всем направлениям, называется конформным в точке clip_image020[1].

Если функция clip_image023[4] аналитична в точке clip_image025[4] и clip_image027[4], то отображение clip_image029[5] является конформным в точке clip_image025[5].

Пример Отображение clip_image032 конформно во всех точках плоскости clip_image014[9], т.к. clip_image035. Коэффициент растяжения clip_image037 во всех точках плоскости clip_image039, а т.к. clip_image041, то направления сохраняются, т.е. отображение clip_image043 является преобразованием гомотетии с центром в нулевой точке.

(clip_image045 — сжатие в 2 раза и поворот на 90°).

 

Интегрирование функции комплексной переменной

Пусть в каждой точке некоторой

image

гладкой кривой clip_image002[14] плоскости clip_image004[14] задана непрерывная функция clip_image006[12].

Разобьем кривую clip_image002[16] точками

clip_image004[16] на clip_image006[14] частей в направлении

от clip_image008[8] к clip_image010[10]. На каждой дуге clip_image012[6] выбе­рем точку clip_image014[12] clip_image016[4] и соста­вим интегральную сумму

clip_image018[6], где clip_image020[6]

Определение. Интегралом от функции clip_image022 по контуру clip_image024 называется предел:

clip_image026 (1)

Преобразуем формулу (1):

clip_image028 (2)

Если кривая clip_image002[17] задана параметрически: clip_image031, clip_image033, clip_image035[4], то

clip_image037[4] (3)

Свойства интеграла

1. clip_image039[4];

2. clip_image041[4];

3. clip_image043[4] (а – постоянное комплексное число);

4. clip_image045[4];

5. Если clip_image047, то clip_image049;

6. Если clip_image051 clip_image053 clip_image055, то clip_image057, где clip_image059 — длина кривой clip_image002[18].

 

Пример

image

Вычислить clip_image003, где clip_image005 — полуокружность.

clip_image007 clip_image009

clip_image011

clip_image013

clip_image015

clip_image017[4]

Обновлено: 05.02.2019 — 22:52

Добавить комментарий

Образовательный сайт © 2019