UniverHelper.RU

Сайт для студентов. Здесь Вы найдёте всё, что нужно для обучения

Доклад Методы, основанные на применении численных неравенств.

МЕТОДЫ, ОСНОВАННЫЕ НА ПРИМЕНЕНИИ ЧИСЛЕННЫХ НЕРАВЕНСТВ

Нестандартными методами в математике являются также методы, в основу которых положено использование известных численных неравенств (Коши, Бернулли и Коши-Буняковского), изучению которых в общеобразовательной школе не уделяется или почти не уделяется никакого внимания. Однако многие математические задачи (особенно задачи повышенной сложности) эффективно решаются именно такими методами. В этой связи незнание последних может существенно ограничить круг успешно решаемых задач.

Первоначально приведем формулировки неравенства Коши, неравенства Бернулли и неравенства Коши-Буняковского, а затем проиллюстрируем их применение на примерах, взятых из программы вступительных экзаменов.

Неравенство Коши

Пусть clip_image001, clip_image002,…, clip_image003, тогда clip_image004 (1)

где clip_image005. Причем неравенство превращается в равенство тогда и, только тогда, когда clip_image006. В частности, если в (1) положить clip_image007, то

clip_image008 (2)

Это неравенство чаще всего встречается при решении школьных задач по математике. Если в (2) положить clip_image009 и clip_image010, где clip_image011, то

clip_image012 (3)

Здесь неравенство равносильно равенству лишь при clip_image013.

Следует отметить, что имеется аналог неравенства (3) для отрицательных значений clip_image014, а именно, если clip_image015, то

clip_image016 (4)

Данное неравенство превращается в равенство при clip_image017.

Неравенство Бернулли

Наиболее распространенным является классическое неравенство Бернулли, которое формулируется в следующей форме: если clip_image018, то для любого натурального clip_image019 имеет место

clip_image020 (5)

Причем равенство в (5) достигается при clip_image021 или clip_image022.

Наряду с (5) существует обобщенное неравенство Бернулли, которое содержит в себе два неравенства:

если clip_image023 или clip_image024, то

clip_image025 (6)

если clip_image026, то

clip_image027 (7)

где clip_image018[1].

Следует отметить, что равенства в (6) и (7) имеют место только при clip_image021[1]. Верно также и обратное утверждение.

Неравенство Коши-Буняковского

Для произвольных clip_image028 и clip_image029 имеет место

image (8)

где clip_image005[1].

Причем равенство в (8) достигается в том и, только в том случае, когда числа clip_image032. и clip_image033 пропорциональны, т.е. существует константа clip_image034 такая, что для всех clip_image035 выполняется равенство clip_image036.

На основе использования неравенства Коши-Буняковского (8) можно доказать неравенство

clip_image037 (9)

которое справедливо для произвольных clip_image038, clip_image039 и натурального числа clip_image019[1].

Задачи и решения

Пример 1. Доказать неравенство

clip_image040

где clip_image041.

Доказательство. Преобразуем левую часть неравенства с использованием неравенства (7), т.е.

image

Так как по условию clip_image044, то равенства в неравенстве Бернулли не будет, поэтому доказано строгое неравенство.

Пример 2. Доказать, если clip_image045, то

image

Доказательство. Для получения нижней оценки левой части требуемого неравенства первоначально воспользуемся неравенством Бернулли (6), а затем неравенством Коши (2), тогда

image

Пример 3. Решить уравнение

clip_image050

Решение. Используя неравенство Коши (2), можно записать

image

т.е. имеет место неравенство

clip_image052

Из зданного уравнения следует, что приведенные выше неравенства Коши обращаются в равенства. А это возможно лишь в том случае, когда clip_image053 и clip_image054.

Следовательно, имеем clip_image055 и clip_image056.

Ответ: clip_image057, clip_image058; clip_image059, clip_image060; clip_image061, clip_image062; clip_image063, clip_image064.

Пример 4. Решить уравнение

clip_image065

Решение. Применим к левой части уравнения неравенство Бернулли (7), а к правой части — неравенство (6), тогда

image

Отсюда следует, что неравенства Бернулли, примененные к обеим частям уравнения, обращаются в равенство, а это возможно лишь в том случае, когда clip_image021[2].

Ответ: clip_image021[3].

image

Обновлено: 05.02.2019 — 23:05

Добавить комментарий

Образовательный сайт © 2019