UniverHelper.RU

Сайт для студентов. Здесь Вы найдёте всё, что нужно для обучения

Решение геодезических задач на поверхности земного эллипсоида. Решение малых сфероидических треугольников. Решение сферических треугольников по теореме Лежандра

3. РЕШЕНИЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ЗАДАЧ НА ПОВЕРХНОСТИ ЗЕМНОГО ЭЛЛИПСОИДА

3.1 Общие сведения

Измеренные на местности углы и линии после их редуцирования на поверхность референц-эллипсоида используются в дальнейшем для решения различных геодезических задач, основными из которых являются:

1) решение треугольников триангуляции или трилатерации. В первом случае необходимо вычислить длины всех сторон треугольника по измеренным углам и одной стороне, во втором — все углы по измеренным сторонам.

2) вычисление геодезических координат пунктов, расстояний и азимутов на-правлений, позволяющих определить взаимное положение различных точек на поверхности эллипсоида.

Сложность при решении указанных задач состоит в том, что необходимо учитывать изменяющуюся в зависимости от широты кривизну поверхности эллипсоида.

3.2 Решение малых сфероидических треугольников

Треугольники, образованные на поверхности эллипсоида (сфероида) геодезическими линиями, называются сфероидическими.

На практике обычно приходится иметь дело с треугольниками, стороны которых не превышают 40-50 км и в редких случаях достигают 70-80 км. В работе [3] доказывается, что если длины сторон в треугольнике не превышают 100-200 км, то его можно считать сферическим, т. е. расположенным на сфере соответствующего радиуса. Таким образом, вычисление треугольников в геодезических сетях сводится к решению сферических треугольников.

При решении сферических треугольников по правилам сферической тригонометрии стороны должны выражаться в радианной или градусной мере, т.к. они являются дугами соответствующих больших кругов. Но на местности измерения производятся в линейной мере. Это вызывает необходимость их предварительного перевода в угловую меру, а после решения треугольника — в линейную, что, безусловно, неудобно. Поэтому при решении сферических треугольников применяют два метода, позволяющих получать длины сторон в линейной мере без перевода их в градусную. Такими методами являются решения треугольников по теореме Лежандра и по способу аддитаментов.

3.2.1 Решение сферических треугольников по теореме Лежандра

В 1787 году французский ученый А.Лежандр доказал теорему, которая гласит: Если стороны плоского и сферического треугольников равны между собой, то углы такого плоского треугольника равны соответствующим углам сферического треугольника, уменьшенным на 1/3 сферического избытка. Пусть дан сферический треугольник ABC (рис.3.1,а) со сторонами a, b и c, выраженными в линейных единицах. По сторонам a, b, c построим плоский треугольник A1, B1, C1 (рис.3.1,б). Углы сферического треугольника равны A, B и C, а углы плоского — A1 ,B1 и C1. Требуется определить разности между углами сферического и плоского треугольников, т.е.

image

image

Обозначим через R радиус шара, на котором построен сферический треугольник, и выразим стороны сферического треугольника в радианной мере image. Тогда по теореме косинусов сторон для сферического треугольника имеем:

image

откуда

image

Учитывая, что величины image при длинах сторон порядка 40-50 км и среднем радиусе эллипсоида около 6400 км величины первого порядка малости, разложим синусы и косинусы больших дуг в ряд, ограничиваясь членами четвертой степени.

Учитывая, что

image

получим

image

Раскроем скобки, и ограничиваясь заданной точностью (не выше четвертой степени), получим:

image

Сгруппировав члены с одинаковыми показателями степени будем иметь

image

Раскладывая знаменатель в биноминальный ряд и ограничиваясь членами меньше четвертой степени, получим

image

и можем записать

image

Перемножив и приведя подобные члены с заданной точностью, получим

image

Рассмотрим теперь плоский треугольник. Для него по формулам плоской тригонометрии можем записать

image

Тогда

image

Сравнив формулы (3.3) и (3.4) с (3.2), видим

image

Из тригонометрии известно, что

image

С учетом данной формулы перепишем выражение (3.5)

image

Учитывая, что разность (A-A1) -величина малая, можно принять

image

и переписать формулу (3.6) следующим образом

image

Величина imageявляется площадью треугольника A1B1C1 , поэтому

image

По аналогии

image

Почленно суммируя равенства (3.8) — (3.10), получим

image

Зная, что A1 + B1 + C1 = 180 °,

image

где ε-сферический избыток, который вычисляется по одной из формул:

image

Исходя из формул (3.8),(3.9),(3.10), с учетом (3.11)  получаем искомые значения плоских углов

image

Углы A1,B1,C1 называются плоскими приведенными углами.

Для вычисления сферических избытков, строго говоря, необходимо использовать углы плоского треугольника, которые нам неизвестны. Как показывают исследования, при длинах сторон до 90 км для вычисления ε можно пользоваться сферическими углами, допуская ошибку в вычислениях избытка не более 0.0005″.

Для общей ориентировки приведем числовые значения сферических избытков при различных длинах сторон для равносторонних треугольников:

image

Запишем формулы для вычисления сферического избытка в следующем виде

image

где

image

Rm -средний радиус кривизны, вычисленный по средней широте B, на которой расположен треугольник ABC.

Следовательно, величины f зависят от широты (табл.3.1), но для территории нашей страны с достаточной точностью можно принимать f =0,00253.

Таблица 3.1

image

Формулы (3.12) выражают теорему Лежандра для малых сферических треугольников, стороны которых не превышают 200 км. В этом случае ошибки вычисления плоских углов треугольника будут не более 0.001″.

Значение теоремы Лежандра заключается в том, что она позволяет при решении малых сферических треугольников использовать формулы плоской тригонометрии.

Обновлено: 24.01.2019 — 03:09

Добавить комментарий

Образовательный сайт © 2019