UniverHelper.RU

Сайт для студентов. Здесь Вы найдёте всё, что нужно для обучения

Масштаб в проекции Гаусса-Крюгера. Вычисление поправок в направления за кривизну изображения геодезической линии на плоскости (редукция направлений)

4.9 Масштаб в проекции Гаусса-Крюгера

Масштаб изображения является важнейшей характеристикой любой конформной проекции. Зная формулу масштаба, можно установить величины и распределение линейных искажений в пределах изображаемой области.

Для вывода формулы масштаба воспользуемся второй формулой из (4.31),  которую запишем в следующем виде:

image

В производных (4.41) сохраним только члены порядка l4 ,тогда

image

Возведем каждое из этих выражений в квадрат и сложим их. Тогда получим с принятой выше точностью

image

Заменив sin2 B на cos2 Btg 2 B и приведя подобные члены, будем иметь

image

Для извлечения квадратного корня применим выражение

image

Таким образом, окончательно получаем

image

Из данного выражения видно, что при l=0°, т.е. на оси абсцисс, масштаб равен единице во всех точках. По мере удаления от осевого меридиана к востоку и западу масштаб изображения быстро увеличивается.

Ранее была получена формула масштаба изображения в проекции Гаусса-Крюгера для шара (4.11). Более точное значение масштаба изображения в функции плоских координат дает для сфероида следующая формула, которую приведем без вывода

image

 

4.10 Вычисление поправок в направления за кривизну изображения геодезической линии на плоскости ( редукция направлений )

Как отмечалось ранее (см. подраздел 4.4), поправки в направления за кривизну изображения геодезической линии на плоскости обусловлены тем, что изображение геодезической линии на плоскости в виде некоторой кривой заменяется хордой.

Приближенное значение этих поправок δ можно получить следующим образом. Пусть на эллипсоиде имеем две точки Q1 и Q2 (рис.4.8). Через эти точки проведем геодезические линии Q1C и Q2D так, чтобы они пересекли осевой меридиан под углом 90°.

image

Рис. 4.8

На плоскости геодезическая линия Q1Q2 изображается кривой image. Плоские координаты точек image обозначим соответственно через x1,y1 и x2,y2, а углы в точках Q1 и Q2 между касательными к кривой и хордой image— через δ12 и δ21 .

В сфероидической трапеции Q1Q2CD сумма углов равна

image

где ε — сферический избыток.

Ввиду равноугольности проекции углы в трапеции на плоскости будут равны углам на эллипсоиде

image

Понятно ,что ∠C ′ + ∠D′ = 180o , и следовательно

image

Из этой формулы сделаем два заключения :

1) в общем случае дуга Q1Q2 на плоскости не может изобразиться прямой линией;

2) дуга на плоскости изображается некоторой кривой , которая выпуклостью всегда обращена от осевого меридиана.

Равенство (4.51) можно переписать следующим образом

image

тогда

image

Если обозначить через P площадь сфероидической трапеции, то сферический избыток равен

image

или

image

где image — средняя ордината линии

На основании (4.53) и (4.54)

image

Полагая ,что image, получим

image

где image — вычисляется аналогично (3.14)

Максимальная ошибка вычисления δ по формуле (4.55) при S ≤ 10 км не более 0.03″. Поэтому данная формула может применяться при обработке триангуляции 3 и 4 классов.

Для сетей 2 класса применяют более точные формулы

image

Эти формулы обеспечивают вычисление поправок δ с точностью до 0.01″. Для сетей 1 класса, особенно при вычислении в шестиградусных зонах, формулы еще более сложные

image

Поправки за кривизну изображения геодезической линии алгебраически прибавляют к измеренным направлениям.

Из формул (4.55)-(4.57) следует, что для определения редукций направлений необходимо знать координаты пунктов. Их вычисляют с точностью до 0.1 м в триангуляции 1 класса и до 1 м — в триангуляции 2 класса. Для триангуляции 3 и 4 классов приближенные координаты достаточно знать с точностью до десятков метров, поэтому их можно определить графически по схеме сети.

Установим связь между сферическими избытками треугольников и поправками за кривизну изображения. Пусть имеем треугольник 123 (рис.4.9) Обозначим:

image

Рис. 4.9

β1 , β2 ,β3 -углы на поверхности эллипсоида;

image — углы между хордами на плоскости;

Рассматривая углы как разность двух направлений и обозначая поправку в угол через ∆i можно записать

image

Суммируя почленно эти равенства, получим

image

Но image — сумма углов плоского треугольника,

image — сумма углов сферического треугольника, поэтому

image

Формула (4.58) служит для контроля вычисления поправок редукций направлений и углов.

Обновлено: 25.01.2019 — 03:47

Добавить комментарий

Образовательный сайт © 2019