UniverHelper.RU

МЕТОДЫ, ОСНОВАННЫЕ НА ПРИМЕНЕНИИ ЧИСЛЕННЫХ НЕРАВЕНСТВ Нестандартными методами в математике являются также методы, в основу которых положено использование известных численных неравенств (Коши, Бернулли и Коши-Буняковского), изучению которых в общеобразовательной школе не уделяется или почти не уделяется никакого внимания. Однако многие математические задачи (особенно задачи повышенной сложности) эффективно решаются именно такими методами. В этой связи незнание […]

Геометрический смысл модуля и аргумента производной. Понятие о конформном отображении Пусть функция аналитична в точке и . Выясним геометрический смысл аргумента и модуля производной. По определению т.е. модуль производной — это отношение бесконечно малого приращения (расстояния) к бесконечно малому приращению аргумента (расстоянию) , кото­рое одинаково по всем направлениям . Таким образом, геометрический смысл модуля производной […]

Дифференцирование функции комплексной переменной. Аналитические функции 1. Определение производной. 2. Условие Коши-Римана (Эйлера-Даламбера). Определение. Пусть однозначная функция определена в окрестности точки , включая саму точку . Если существует предел (1) то он называется производной функции в точке , а функция — дифференцируемой в точке . Заметим, что стремится к нулю произвольным образом. Теорема (условие Коши-Римана […]

Лекция 3. Основные элементарные функции Показательная функция Показательная функция определяется формулой: , (1) При действительных (при ) получим действительную функцию . Свойства показательной функции 1) ; 2) ; 3) , т.к. ; 4) ; ; 5) Функция периодическая с периодом : . Логарифмическая функция Определяется как обратная к показательной Число называется логарифмом числа , если […]

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Лекция 1 . Комплексные числа Лекция 2. Функции комплексной переменной   Рассмотрим два множества комплексных чисел D и E на комплексных плос­костях и Определение. Если каждому числу по некоторому закону поставлено в соответствие число , то говорят, что на множестве D задана функция комплексной переменной , отображающая множество D в множество […]

Преобразование Фурье Запишем интеграл Фурье в виде двух равенств: (1) и (2) Здесь формулы (2) и (1) называют соответственно прямым и обратным преобразованием Фурье, которые устанавливают связь между образом и прообразом : . Свойства преобразования Фурье: 1. Однородность: . 2. Аддитивность: . 3. Подобие: . 4. Дифференцирование прообраза: — в точках непрерывности. При одностороннем преобразовании […]

Спектры периодических функций Ряд Фурье функции произвольного периода Т: . После введения основной частоты записывается в виде: (1) Воспользуемся формулой , где , тогда: (2) где . Функция представляется суммой гармоник с частотами , амплитудами и фазами . Совокупность амплитуд называется амплитудным спектром функции , а совокупность фаз — фазовым спектром. Спектр периодической функции является […]

Формула Фурье для четных и нечетных функций. 1. Если функция — четная, то (здесь — нечетная функция) и тогда формула (5) дает: , где (6). 2. Если функция — нечетная, то и , где (7). 3. Если функция задана только на или , то ее можно продолжить на R четным или нечетным образом. Пример: Представить […]

Преобразование Фурье 1. Интеграл Фурье. Вывод формулы Фурье. Как известно, всякую (периодическую или непериодическую) функцию , удовлетворяющую на отрезке условиям теоремы Дирихле, можно разложить на этом отрезке в ряд Фурье (1) где (2) В точках непрерывности , в точках разрыва : . Если при этом функция -периодическая, то это разложение справедливо для . Рассмотрим случай, […]

ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Данные уравнения имеют вид: , (1) где p и q –постоянные числа Определение Два решения уравнения (1) и называются линейно независимыми на отрезке ,если их отношение на данном отрезке не является постоянным, т.е. на Теорема ( Об общем решении ЛОДУ) Если и –два линейно независимых решения уравнения […]